三角形ABC中,已知(a^2+b^2)sin(A-B)=(a^2-b^2)sin(A+B),试判断三角形ABC形状

由题意，得
交叉相乘[(a^2+b^2)/（a^2-b^2)]=[sin（A+B）/sin（A-B）]
把后面一项拆开，得
[(a^2+b^2)/（a^2-b^2)]=(sinAcosB+sinBcosA)/(sinAcosB-sinBcosA)
=(a*cosB+b*cosA)/(a*cosB+b*cosA)
故，a=cosB=sinA
b=cosA=sinB
A=B或A+B=90°
所以三角形ABC是直角三角形或者等腰三角形

sin(A+B) = sinC > 0

sinA/sinC = a/c, sinB/sinC = b/c

cosA = [b^2 + c^2 - a^2]/(2bc)

cosB = [a^2 + c^2 - b^2]/(2ac)

(a^2 - b^2)/(a^2 + b^2) = sin(A-B)/sin(A+B)

= [sinAcosB - cosAsinB]/sinC

= a/c[(a^2 + c^2 - b^2)/(2ac)] - b/c[(b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)]

= [a^2 + c^2 - b^2 - b^2 - c^2 + a^2)]/(2c^2)

= 2(a^2 - b^2)/(2c^2)

= (a^2 - b^2)/c^2

所以，
要么，a = b, 三角形ABC为等腰三角形。
若 a不等于b,则a^2 + b^2 = c^2,三角形ABC为非等腰直角三角形。

由题意，得
交叉相乘[(a^2+b^2)/（a^2-b^2)]=[sin（A+B）/sin（A-B）]
把后面一项拆开，得
[(a^2+b^2)/（a^2-b^2)]=(sinAcosB+sinBcosA)/(sinAcosB-sinBcosA)
=(a*cosB+b*cosA)/(a*cosB+b*cosA)